Вам понадобится
- - карандаш;
- - ручка;
- - линейка.
Инструкция
1
Вам необходимо определить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Найдите первообразную F для заданной функции f. Постройте криволинейную трапецию.
2
Найдите несколько контрольных точек для функции f, вычислите координаты пересечения графика данной функции с осью OX, если они имеются. Изобразите графически другие заданные линии. Заштрихуйте искомую фигуру. Найдите x=a и x=b. Вычислите площадь криволинейной трапеции, используя формулу S=F(b)–F(a).
3
Пример I. Определите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией y=3x-x². Найдите первообразную для функции y=3x-x². Это будет F(x)=3/2x²-1/3x³. Функция y=3x-x² представляет собой параболу. Ее ветви направлены вниз. Найдите точки пересечения данной кривой с осью OX.
4
Из уравнения: 3x-x²=0, следует, что x=0 и x=3. Искомые точки – (0; 0) и (0; 3). Следовательно, a=0, b=3. Найдите еще несколько контрольных точек и изобразите график данной функции. Вычислите площадь заданной фигуры по формуле: S=F(b)–F(a)=F(3)–F(0)=27/2–27/3–0+0=13,5–9=4,5.
5
Пример II. Определите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x² и y=4x. Найдите первообразные для данных функций. Это будет F(x)=1/3x³ для функции y=x² и G(x)=2x² для функции y=4x. С помощью системы уравнений найдите координаты точек пересечений параболы y=x² и линейной функции y=4x. Таких точек две: (0;0) и (4;16).
6
Найдите контрольные точки и изобразите графики заданных функций. Легко заметить, что искомая площадь равна разности двух фигур: треугольника, образованного прямыми y=4x,y=0, x=0 и x=16 и криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=x², y=0, x=0 и x=16.
7
Вычислите площади данных фигур по формуле: S¹=G(b)–G(a)=G(4)–G(0)=32–0=32 и S²=F(b)–F(a)=F(4)–F(0)=64/3–0=64/3. Итак, площадь искомой фигуры S равна S¹–S² =32–64/3=32/3.