Вам понадобится
- Таблица простейших интегралов.
Инструкция
1
В математике существует довольно большое количество способов «взять» интеграл. В данной статье коротко рассмотрены те из них, которые принято называть простейшими приемами интегрирования. Эти приемы используют свойства неопределенных интегралов и тождественные преобразования подынтегральной функции.
2
1. Непосредственное интегрирование.Непосредственное интегрирование заключается в вычислении интегралов с помощью их определенных свойств и специальных таблиц. Пример 1. Вычислить интеграл ∫(4/(cosx^2)- 3cosx +2/(x-1))dxРешение. ∫(4/(cosx^2)- 3cosx +2/(x-1))dx= 4∫dx/(cosx^2)- 3∫cosxdx +2∫dx/(x-1)=4tgx-3sinx+2ln|x-1| + C.
3
Теперь можно рассмотреть правило, которое позволяет расширить возможности иcпользования таблицы основных интегралов. Если ∫f(x)dx=F(x)+C, то ∫f(kx+b)dx=(1/k)F(kx+b)+CПример 2. ∫sin(5x)dx=-(1/5)cos(5x)+ C.
4
2. Разложение подынтегральной функции. Данный прием заключается в преобразовании подынтегральной функции, используя формулы алгебры и тригонометрии. Подынтегральная функция представляется в виде суммы функций, интегралы от которых можно легко брать.Пример 3. ∫(1+(cosx)^2/(1+cos(2x))dx=[1+cos(2x)=2(cosx)^2 ]=∫(1+(cosx)^2/2(cosx)^2)dx==(1/2)∫1/(cosx)^2)dx+(1/2)∫dx=(1/2)(tgx+x)+C.Пример 4. ∫dx/((sinx)^2)(cosx)^2))= ∫((sinx)^2+(cosx)^2)/((sinx)^2)(cosx)^2))dx=∫(1/(cosx)^2+1/(sinx)^2)dx=tgx-ctgx+C.
5
3. Подведение под знак дифференциала. Этот прием основан на свойстве инвариантности формул интегрирования. Подынтегральная функция преобразуется к виду f(u(x))u’(x), а затем сомножитель u’(x) подводится под знак дифференциала (интегрируется) – u’(x)dx=d(u(x)), после чего применяется формула ∫(f(u(x))du(x))=u(x)+C.
6
Пример 5. ∫(arctgx/(1+x^2))dx=|dx/(1+x^2)=d(arctgx)|=∫(arctgxd(arctgx))=(1/2)(arctgx)^2+C.Пример 6. ∫xsqrt(1-x^2)dx=|d(1-x^2)=-2xdx|=-(1/2) ∫((1-x^2)^(1/2+1))/(1/2+1) + C =-(1/3)sqrt((1-x^2)^3) + C.Пример 7. ∫((cosx)^3)sin(2x)dx=2∫(cosx)^3)cosxsinxdx=-2∫((cosx)^4)d(cosx)=-(2/5)(cosx)^5+C.