Инструкция
1
Решение дифференциального уравнения первого порядка рассмотрим на примере xy'=y. Вы видите, что оно содержит: х - независимую переменную; у - зависимую переменную, функцию; y' - первую производную функции.

Не пугайтесь, если в некоторых случаях в уравнении первого порядка не будет «х» или (и) «у». Главное, чтобы в дифференциальном уравнении обязательно была y' (первая производная), и отсутствовали y'', y'''(производные высших порядков).
2
Представьте производную в следующем виде: y'=dydx (формула знакома из школьной программы). Ваша производная должна выглядеть следующим образом: x*dydx=y, где dy, dx - дифференциалы.
3
Теперь разделите переменные. Например, в левой части оставьте только переменные содержащие y, а в правой - переменные содержащие x. У вас должно получиться следующее: dyy=dxx.
4
Проинтегрируйте полученное в предыдущих манипуляциях дифференциальное уравнение. Вот так: dyy=dxx
5
Теперь вычислите имеющиеся интегралы. В этом простом случае они табличные. Вы должны получить следующий результат: lny=lnx+C
Если ваш ответ отличается от представленного здесь, проверьте все записи. Где-то допущена ошибка и ее нужно исправить.
6
После того, как вычислены интегралы, уравнение можно считать решенным. Но полученный ответ представлен в неявном виде. На данном шаге вы получили общий интеграл. lny=lnx+C
Теперь представьте ответ в явном виде или, другими словами, найти общее решение. Перепишите полученный на предыдущем шаге ответ в следующем виде: lny=lnx+C, воспользуйтесь одним из свойств логарифмов: lna+lnb=lnab для правой части уравнения (lnx+C) и отсюда выразите у. Вы должны получить запись: lny=lnCx
7
Теперь уберите логарифмы и модули с обеих частей: y=Cx, С – cons
Вы имеете функцию, представленную в явном виде. Это и называется общим решением для дифференциального уравнения первого порядка xy'=y.